Makalah Schrodinger dan Aplikasinya

MAKALAH

SCHRODINGER DAN APLIKASINYA

DAFTAR ISI

                                                                                                            Halaman

DAFTAR ISI ..............................................................................................      2  

BAB I PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang .......................................................................      3

B.     Rumusan Masalah ................................................................       4

C.    Tujuan .....................................................................................      4

BAB II PEMBAHASAN

A.    Persamaan Schrodinger.........................................................        5

B.     Persamaan Gelombang Schrodinger untuk atom hydrogen       7

C.    Aplikasi Persamaan Schrodinger dalam satu dimensi.........        8

BAB III PENUTUP

A.    Kesimpulan .............................................................................      13

DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................      14

BAB 1

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang Masalah

Pada awalnya orang menganggap materi (zat) bersifat kontinu. Tetapi hasil penemuan berikutnya seperti penemuan muatan elementer melalui percobaan simpangan sinar katoda membuat para ilmuwan mulai memikirkan bahwa materi bersi;at diskrit. lalu konsep atom muncul karena rasa ingin tahu terhadap struktur zat. Struktur zat berarti Komponen – Komponen dan hubungan antar Komponen yangmembentuk zat tersebut.

Penjelasan Rutherford tentang penerapan mekanika Newton pada model atom, dimana elektron diandaikan melakukan gerak mengelilingi atom, seperti planet mengelilingi matahari. -alam gerak itu elektron mengalami percepatan sentrifugal. gambaran ini dapat disimpulkan bahwa elektron pada atom tidak stabil. karena mengalami perepatan maka elektron akan memancarkan gelombang elektro magnetik. energi pancaran ini akan mengurangi energi total elektron sehingga jari-jari elektron akan mengecil. karena adanya pancaran gelombang elektro magnetik maka spektrum panjang gelombang yang dipancarkan adalah spektrum yang kontinu.

Namun dalam konsep mekanika modern menganggap bahwa di dalam atom terdapat kestabilan. hal ini didukung oleh percobaan yang dilakukan oleh J.J Balmer pada tahun 1855 yang bereksperimen tentang pemanasan gas hidrogen pada beda potensial tinggi yang menghasilkan spektrum emisi diskrit, dan juga ditambahkan dengan teori atom Bohr yang menyatakan bahwa elektron memiliki kestabilan.

Penjelasan mengenai struktur atom yang lebih lengkap diperlukan untuk mengetahui struktur yang lebih detail tentang elektron di dalam atom. Model atom yang lebih lengkap harus dapat menerangkan efek Zeeman dan sesuai untuk atom berelektron banyak. Zeeman merupakan terpecahnya satu garis spektrum atomik yang dialiri arus listrik melalui gas dalam sebuah tabung menjadi beberapa garis di dalam medan magnet. 1erikut adalah gambar pemisahan garis spektrumatomik di dalam medan magnet

B.     Rumusan Masalah

a)      Apa yang dimaksud dengan Persamaan Schrodinger

b)      Bagaimana Persamaan Gelombang Schrodinger untuk atom hydrogen

c)      Jelaskan Aplikasi Persamaan Schrodinger dalam satu dimensi

C.    Tujuan Penulisan

Berdasarkan Rumusan Masalah  Tujuan Penulisan Makalah Schrodinger adalah :

a)      Menjelaskan pengertian Persamaan Schrodinger

b)      Menjelaskan Bagaimana Persamaan Gelombang Schrodinger untuk Atom Hydrogen

c)      Menjelaskan Aplikasi Persamaan Schrodinger dalam satu dimensi

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Persamaan Schrodinger

Erwin Schrodinger (1887 – 1961) merumuskan teori mekanika gelombang, yang menggambarkan perilaku partikel kecil yang membentuk segi materi gelombang. Pembuktian mekanika gelombang, schrodinger meneruskan penemuan Louis de Broglie yaitu elektron atau partikel memiliki sifat gelombang yang tidak memiliki posisi tertentu di dalam ruang. Persamaan dinamika Newton yang sedianya untuk menjelaskan gerak elektron digantikan oleh persamaan schrodinger yang menyatakan fungsi gelombang untuk elektron. ntuk model atom pada prinsip ini disebut model atom mekanika kuantum.

Persamaan Schrodinger menghasilkan seperangkat fungsi keadaan yang bergantung pada tiga bilangan kuantum n, l, m  dinyatakan maps out  probabilitas lokasi elektron. fungsi ini ditunjukkan sebagai orbital- orbital

Posisi dan keberadaan elektron di dalam atom dinyatakan sebagai peluang terbesar elektron di dalam atom. Pada gambar atom diatas, electron mengandung tiga bilangan kuantum yang jika ditentukan akan diperoleh hasil berupa orbital. ketiga bilangan kuantum ini adalah bilangan kuantum utama,Orbital, dan Magnetik,  menggambarkan rapatan muatan elektron atau peluang menemukan elektron pada suatu titik dalam atom. ketiganya digambarkan dalam proyeksi 3 Dimensi ;  di sekitar titik  adalah Konjugat dari jadi persamaan  Schrodinger tidak menentukan posisi elektron melainkan memberikan probabilitas bahwa ia akan ditemukan di sekitar posisi tertentu. kita juga tidak dapat mengatakan secara pasti bagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan momentum elektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg. Persamaan gelombang partikel (misalnya elektron) yang bergerak dalam satu arah (misalnya arah X) diberikan oleh:

m adalah massa elektron, V adalah energi potensial sistem sebagai fungsi koordinat, dan adalah fungsi gelombang. Contoh paling sederhana persamaan schrodinger adalah sistem satu elektron dalam potensial kotak satu dimensi. Misalkan enegi potensial V elektron yang terjebak dalam kotak (Panjangnya A) adalah 0 dalam kotak (0 < x < a ) dan di luar kotak. Persamaan Schrodinger didalam kotak menjadi:

Persamaan berikut akan didapatkan sebagai penyelesaian  persamaan - persamaan diatas:

Perlu diingat bahwa n muncul secara otomatis. Persamaan gelombang  sendiri tidak memiliki makna fisik. kuadrat nilai absolut merupakan indikasi matematis keboleh jadian menemukan elektron dalam posisi tertentu, dan dengan demikian sangat penting sebab nilai ini berhubungan dengan kerapatan elektron.Bila keboleh jadian menemukan elektron pada posisi tertentu diintegrasikan di seluruh ruang aktif, hasilnya harus bernilai satu, atau secara metematis:  energinya (nilai eigennya) adalah  jelas banhwa energ ipartikel diskontinyu.

Perbedaan pokok antara mekanika klasik dengan mekanika kuantum terletak pada cara penggambarannya. dalam mekanika klasik, masa depan partikel dapat ditentukan berdasarkan keadaan awal (Kedudukan awal, Momentum awal). serta gaya-gaya yang bekerja padanya melalui hukum kedua Newton. Artinya dengan menyelesaikan secara matematis dari hukum kedua Newton, maka bisa diketahui dengan pasti kedudukan dan momentum partikel untuk setiap saat dalam mekanika kuantum ketentuan tentang keadaan masa depan partikel seperti pada mekanika klasik tidak mungkin diperoleh, karena kedudukan dan momentum awal tidak dapat diperoleh dengan ketelitian yang cukup. Dimungkinkan untuk memperluas metoda yang digunakan dalam potensial kotak satu dimensi ini untuk menangani atom hidrogen dan atom mirip hidrogen secara umum. untuk keperluan ini, persamaan satu dimensi harus diperluas dengan persamaan tiga dimensi :

B.     Persamaan Gelombang Schrodinger untuk atom hydrogen

Model atom Bohr telah memberikan gambaran mental yang sangat bermanfaat mengenai struktur sebuah atom. Banyak gambaran tentang atom yang dapat dijelaskan berdasarkan orbit -orbit Bohr. Bahkan model ini sangat mengesankan dengan gagasan baru tentang energi diskret dan keadaan mantap suatu atom.

Meskipun model atom Bohr berhasil menerangkan banyak aspek dari gejala atom, model ini masih mempunyai beberapa kelemahan. Model ini tidak  bisa menjelaskan tentang hasil pengamatan bahwa garis spektum ternyata bukan merupakan garis tunggal, melainkan terdiri dari dua atau lebih garis spektrum yang jaraknya sangat berdekatan. -engan menggunakan model ini, kita dapat menghitung energi spektrum dengan teliti, tetapi kita tidak dapat menghitung intensitasnya.

Hasil pengamatan bahwa kebanyakan garis spektrum ternyata bukan merupakan garis tunggal, melainkan terdiri atas dua atau lebih garis spektrum yang jaraknya sangat berdekatan menunjukkan adanya subtingkat energi yang sangat berdekatan dalam tingkat-tingkat energi utama. Untuk menjelaskan kenyataan ini, Erwin Schrodinger (1887 – 1961), mengemukakan suatu pendekatan baru yang dikenal dengan mekanika gelombang. Berbeda dengan Bohr yang melakukan percobaan dengan electron-elektron partikel, Schrodinger memperlakukan electron-elektron tersebut sebagai gelombang de Broglie.

C.    Aplikasi Persamaan Schrodinger dalam satu dimensi

Kotak Potensial Satu Dimensi dan Keadaan Dasar

Sumur Potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh potensial. Hal ini berarti bahwa partikel selama berada dalam sumur potensial, merupakan electron bebas. kita katakan bahwa electron terjebak di sumur potensial, dan kita anggap bahwa dinding potensial sangat tinggi menuju , atau kita katakan sumur  potensial sangat dalam. dalam gambar berikut kita akan menggambarkan sumur  potensial. Daerah  I dan daerah III adalah daerah-daerah dengan , Sedangkandi daerah II, yaitu antara 0 dan L, V =  Kita katakan bahwa lebar sumur potensialini adalah L.

Pada sumur potensial yang dalam, daerah I dan III adalah daerah dimana kemungkinan berada elektron bisa dianggap nol  Sedangkan pada daerah dua kita dapat memberi spesifikasi pada gerak partikeldengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu- x antara  X= 0 dan  X = L disebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Sebuah partikel tidak akan kehilangan energinya jika bertumbukan dengan dinding, energi totalnya tetap konstan. Dari pernyataan tersebut maka energi potensial V dari partikel itu menjadi tak hingga di kedua sisi sumur, sedangkan V konstan di dalam sumur, dapat dikatakan V=0 seperti yang terlihat pada gambar di atas, karena partikel tidak  bisa memiliki energi tak hingga, maka partikel tidak mungkin ditemukan di luar sumur, sehingga fungsi gelombang  Maka yang perlu dicari adalah nilai  di dalam sumur, yaitu antara X= 0 dan X =L. PersamaanSchrodinger bebas waktu adalah:

Pemecahan ini belum lengkap, karena belum ditentukan nilai A dan B, juga belum menghitung nilai energi E yang diperkenankan. Untuk menghitungnya,akan diterapkan persyaratan bahwa  harus kontinu pada setiap batas dua bagian ruang. Dalam hal ini, akan dibuat syarat bahwa pemecahan untuk X < 0 dan X > 0 brnilai sama di X = 0 begitu pula pemecahan untuk X < L dan X> L haruslah bernilai sama dengan X = L. untuk X < 0 jadi harus mengambil

Disini ada dua pemecahan yaitu A = 0 yang memberikan  dan  yang berarti bahwa dalam sumur tidak terdapat partikel atau sin KL = 0 maka yang benar jadi

Dari persamaan tersebut diperoleh bahwa energi partikel mempunyai hargatertentu yaitu harga eigen. Harga eigen ini membentuk tingkat energisitas yaitu:

Energi yang kita tinjau disini berbeda dengan energi Born, dimana pada energi Born menyatakan energi tingkat atomic, sedangkan tingkat energi pada persamaan Schrodinger menyatakan tingkat energi untuk elektron, fungsi gelombang sebuah partikel didalam sumur yang berenergi adalah :

Untuk memudahkan  yang mana tampak bahwa unit energi ini ditentukan oleh massa partikel dan lebar sumur  dan demikian partikelnya hanya dapat ditemukan dengan energi  dan seterusnya. Karena dalam kasus ini energi yang diperoleh hanya pada laju tertentu yang diperkenankan dimiliki partikel. Ini sangat berbeda dengan kasus klasik,misalnya manik-manik (yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat dan menumbuk kedua dinding secara secara elastik) dapat diberi sembarang kecepatan awal dan akan bergerak selamanya, bolak-balik, dengan laju tersebut.

Dalam kasus kuantum hal ini tidaklah mungkin, karena hanya laju awal tertentu yang dapat memberikan keadaan gerak tetap, keadaan gerak khusus ini

disebut keadaan “stasioner” karena ketergantungan pada waktu yang dilibatkan untuk membuat  tidak bergantung waktu. Hasil pengukuran energi sebuah partikel dalam sebuah sumur potensialharus berada pada salah satu keadaan stasioner, hasil yang lain tidaklah mungkin.Pemecahan bagi  belum lengkap, karena belum ditentukan tetapan A. untuk menentukannya ditinjau kembali persyarata normalisasi yaitu karena  kecuali  sehingga berlaku :

Dalam gambar di bawah ini akan dilukiskan berbagai tingkat energi,fungsi gelombang dan rapat probabilitas  yang mugkin untuk beberapakeadaan terendah. keadaan energi terendah, yaitu pada n = 1 dikenal sebagaikeadaan dasar dan keadaan dengan energi yang lebih tinggi (n>1) dikenalsebagai keadaan eksitasi.

kita lihat di sini bahwa energi elektron mempunyai nilai-nilai tertentuyang diskrit, yang ditentukan oleh bilangan bulat n.Bila diskrit ini terjadi karena pembatasan yang harus dialami oleh  yaitu bahwa ia harus berada dalam sumur  potensial. ia harus bernilai nol di batas-batas dinding potensial dan hal itu akan terjadi bila lebar sumur potensial L sama dengan bilangan bulat kali setengah panjang gelombang. Jika tingkat energi untuk n = 1 kita sebut tingkat energi yang pertama, maka tingkat energi yang kedua pada n =2 , tingkat energi yang ketiga pada n =3 dan seterusnya. Jika kita kaitkan dengan bentuk gelombangnya, dapat kita katakan bahwa tingkat-tingkat energi tersebut sesuai dengan jumlah titik simpul gelombang. Dengan demikian maka diskritisasi energi elektron terjadi secara wajar melalui pemecahan persamaan Schodinger.

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Persamaan gelombang materi Schrodinger untuk elektron yang bergerak mengelilingi inti atom hidrogen dalam sistem koordinat kartesian (dengan energi potensial listrik). Schrodinger merumuskan teori mekanika gelombang, yang menggambarkan perilaku partikel kecil yang membentuk segi materi gelombang. Pada intinya Schrodinger menggambarkan besar energi perilaku partikel yaitu bersumber dari mekanika Newton yang kedua sukunya dikalikan dengan fungsi gelombang,

DAFTAR PUSTAKA

https://www.scribd.com/document/330084496/aplikasi-persamaan-schrodinger

https://www.scribd.com/document/257289576/Makalah-Persamaan-Schrodinger